【一次関数】動点Pの２つの解き方（簡単な方法と普通の方法）

簡単な解き方＆必要スキル

難しそうに見える問題ですが、実は点Pが各頂点にあるときの面積を出してグラフに書けば答えは出せちゃいます。

逆に言えば、それさえできれば普通に解ける問題です。以下に説明します。

自信のない方はこちらをご覧ください。

グラフができたので、グラフの式を求めます。

答えのまとめ

$0\leqq x\leqq 4$ のとき$y=3x$

$4\leqq x\leqq 10$ のとき$y=12$

$10\leqq x\leqq 14$ のとき$y=-3x+42$

グラフ

このように考えても解けます。各分岐点の座標さえ分かればグラフは書けるので、それを読み取れば式も出せる！

普通の方法と解き方が反対ですが、考え方はこれが一番楽だと思います。

でも、やっぱり普通の解き方、考え方も紹介しますね⇩

普通の解き方　解くための準備段階：イメージしましょう

次に挙げる準備をしておくと、その後の展開が断然楽になります。まずはイメージしてそれを図に書き留めておきましょう。

３つの三角形パターン

この問題には３つのパターンがあります。

点PがAB上にあるとき

変域を確認しよう

点PがAB上にあるということは、図のように点Pが点Aを出発してから動く範囲は０～４ｃｍの間です。

つまりAPの長さ$x$の変域は$0\leqq x\leqq 4$となります。

式を求めよう

問題文からAPの長さは$x$ です。

AB上に点Ｐがあるのは$x$ の変域：$0\leqq x\leqq 4$のときです。

底辺を６ｃｍとすると高さは$x$ ｃｍなので、三角形の面積は$y$ なので公式に当てはめます。

三角形の面積＝底辺×高さ÷２

$y=6\times x÷2$

$y=3x$

よって、$0\leqq x\leqq 4$のとき$y=3x$

ここまでのグラフを書いてみよう

$x$ が０～４の間で$y=3x$ のグラフを書きます。

$x$が４までで止めて下さいね！

$x$が４のとき、$y=3x$ に代入すると、

$y=3x=3\times 4=12$ なので点（４，１２）に点を取って、（０，０）からまっすぐに線を引きます。

そうするとこうなります↓

点PがBC上にあるとき

変域を求めよう

点PがBC上にあるということは、図のように点Pが点Aを出発してから４～１０ｃｍ移動したときです。

つまりAPの長さ$x$の変域は$4\leqq x\leqq 10$となります。

式を求めよう

$x$はAPの長さなので図の赤線部分になりますが、三角形の面積は底辺と高さで決まるので、この場合$x$ の値は関係なくなります。

底辺は６ｃｍ、高さは４ｃｍになるので、三角形の面積$y$はこのようになります。

$y=6\times 4÷2$

$y=12$

BC上に点Pがあるのは、$x$ の変域：$4\leqq x\leqq 10$ のときです。

よって、$4\leqq x\leqq 10$ のとき$y=12$

ここまでのグラフを書いてみよう

$x$ が０～４で書いた$y=3x$ のグラフの続きに書きましょう。

$x$が４～１０までの間は、面積は１２のままです。

だからこうなります↓

点PがCD上にあるとき・高さの出し方テクニック

変域を求めよう

点PがCD上にあるということは、図のように点Pが点Aを出発してから１０～１４ｃｍ移動したときです。

つまりAPの長さ$x$の変域は$10\leqq x\leqq 14$となります。

式を求めよう

…の前に高さは何センチ？

このとき、底辺は６ｃｍでＯＫです。

この場合も高さを$x$ としてしまいがちですが、それは間違いです。

底辺を６ｃｍとしたときの高さはここです！

青線で示した部分PDの長さが高さになります。ここが何ｃｍなのかを求めなければなりません。

高さの出し方テクニック

なぜ分かりづらいかというと、$x$が曲がっているからなのです。

無理やりまっすぐにして考えましょう。

ということで、点Pの道筋をまっすぐにしておりますのでしばらくお待ちください。

で、まっすぐになったので説明します。

点PはCD上にあります。そしてAPの長さが$x$です。

そうすると、PDの長さは、全体の１４ｃｍから、$x$を引いた値になりますので、

$PD=14-x$

となります。

つまり、三角形はこうなります。

そうすると底辺６ｃｍ、高さ$14-x$ｃｍなので、面積$y$ は

$y=6(14-x)÷2$

$y=3(14-x)$

$y=42-3x$

一次関数っぽく並べると

$y=-3x+42$

ここまでのグラフを書いてみよう

今までのグラフの続きに書きましょう。

$10\leqq x\leqq 14$のとき$y=-3x+42$でした。

などと思われがちですが、全然大丈夫です。

$x$ が１０～１４のときだけのグラフです。

$x=10$のときと$x=14$のときを式に入れて計算すれば座標が出るので、それをつなげばよいのです。

$x=10$のとき

$y=-3\times 10+42=-30+42=12$

つまり、（１０，１２）を通るので…

あ、ここから始まればいいってことですね。

$x=14$のとき

$y=-3\times 14+42=-42+42=0$

つまり、（１４，０）を通るので、点を取って線で結ぶと…

…と、こうなります。

これで全部解けました！

答えのまとめ

$0\leqq x\leqq 4$ のとき$y=3x$

$4\leqq x\leqq 10$ のとき$y=12$

$10\leqq x\leqq 14$ のとき$y=-3x+42$

グラフ

これで全行程終了ですが、一応確認事項↓

一応確認事項

点Pが１４ｃｍ進むということは、点Dと重なるわけですから

⊿APDは高さが０になるので面積０で当たり前ですね。

まとめ

２つの解き方を説明しました。どちらでも解けますので好きな方で解いてもらってよいと思います。ただ、学校で学習しているのは多分「普通の方」です。そこだけは注意しておいてくださいね！