見分ける順番
式をまとめたとき、□²＝数字となっているかどうかで判断できます。
□²＝数字となる場合
例：\(x^{2}-3=0\) ， \(\left( x-2\right) ^{2}-7=0\)
平方根を利用した解き方で解く（下の①参照）
そうでない場合（\(〇x^{2}+□x+△=0\) このような形になるとき）
①因数分解できるかを考える
②無理なら解の公式で解く（下の②参照）
この順番で見極めていくと良いです。
①式をまとめて、□²－数字＝0 になる場合
この形になる場合は、平方根の考え方を使って解くのが手っ取り早いです。
例題１
\(x^{2}-3=0\)
\(x^{2}=3\)
\(x=\pm \sqrt{3}\)
例題2
\(\left( x-2\right) ^{2}-7=0\)
\(\left( x-2\right) ^{2}=7\)
\(x-2=\pm \sqrt{7}\)
\(x=2\pm \sqrt{7}\)
この方法が「手っ取り早い」というだけで、必ずこの方法で解かなきゃいけない、というものではありません。
例題２の解き方が分かりづらいと思うようなら、この下にある別解のように展開して、次の「②それ以外の場合」の方法で解いても構いません。要は「どの方法が解きやすいか」です。
別解
\(\left( x-2\right) ^{2}-7=0\)
\(x^{2}-4x+4-7=0\)
\(x^{2}-4x-3=0\)
このようにしてしまえば、以下で説明している「②それ以外の場合」で解けます。以下を参照してください。
②それ以外の場合
①の平方根を利用して解ける場合以外は、式をまとめると
\(ax^{2}+bx+c=0\)
このような形になります。
このときは、
①因数分解をやってみる
②できなかったら解の公式に入れて解く
これですべて解けます。
例題3
\(\left( x-4\right) ^{2}=-2\left( 5x-12\right)\)
\(x^{2}-8x+16=-10x+24\)
\(x^{2}-8x+16+10x-24=0\)
\(x^{2}+2x-8=0\)
たして２、かけて－8となるのは、＋４と－２なので因数分解できます。
\(\left( x+4\right) \left( x-2\right) =0\)
\(x=-4\) , \(x=2\)
例題4
\(\left( x-3\right) \left( x+1\right) =3x-1\)
\(x^{2}-2x-3=3x-1\)
\(x^{2}-2x-3-3x+1=0\)
\(x^{2}-5x-2=0\)
たしてー５、かけてー２という整数はないので、解の公式に入れます。
\(x=\dfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\times 1\times \left( -2\right) }}{2\times 1}\)
\(x=\dfrac{5\pm \sqrt{25+8}}{2}\)
\(x=\dfrac{5\pm \sqrt{33}}{2}\)
二次方程式の見極めまとめ
二次方程式は、
\(ax^{2}+bx+c=0\)
このように、右辺（＝の右側）を０にしてしまえば、全部解の公式で解けます。
しかし、解の公式は計算が意外と面倒なので、解きやすい方法で解いた方が楽じゃね？ってことで、それ以外の方法があると考えれば良いでしょう。
以下に「参考」として、解の公式で解いた場合を別解として挙げておきます。
例題１別解
\(x^{2}-3=0\)
\(ax^{2}+bx+c=0\)の\(a,b,c\)の値は、\(a=1,b=0,c=-3\)なので、
\(x=\dfrac{0\pm \sqrt{0-4\times 1\left( -3\right) }}{2\times 1}\)
\(x=\dfrac{\pm \sqrt{12}}{2}\)
\(x=\dfrac{\pm 2\sqrt{3}}{2}\)
\(x=\pm \sqrt{3}\)
例題２の別解
\(\left( x-2\right) ^{2}-7=0\)
\(x^{2}-4x+4-7=0\)
\(x^{2}-4x-3=0\)
\(x=\dfrac{4\pm \sqrt{\left( -4\right) ^{2}-4\times 1\times \left( -3\right) }}{2\times 1}\)
\(x=\dfrac{4\pm \sqrt{16+12}}{2}\)
\(x=\dfrac{4\pm \sqrt{28}}{2}\)
\(x=\dfrac{4\pm 2\sqrt{7}}{2}\)
\(x=2\pm \sqrt{7}\)
例題３の別解
\(\left( x-4\right) ^{2}=-2\left( 5x-12\right)\)
\(x^{2}-8x+16=-10x+24\)
\(x^{2}-8x+16+10x-24=0\)
\(x^{2}+2x-8=0\)
\(x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4\times 1\times \left( -8\right) }}{2\times 1}\)
\(x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}\)
\(x=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2}\)
\(x=\dfrac{-2\pm 6}{2}\)
\(x=-1\pm 3\)
\(x=2,x=-4\)
ご覧のように、面倒くさくはありますが、解の公式ですべて解けるのが二次方程式です。
とは言え、簡単な方法で解ければその方が間違いも少なく、時間もかからずに解けます。例題１の場合は、明らかに平方根の解き方の方が楽です。
このようなことから、私が推奨する「何を使って解くか」の見極めの順番はこのようになります。
①平方根を使って解けるか？（\(x^{2}=数字\) ，\(\left( x-□\right) ^{2}=数字\)になるか？）
②そうでない場合、式を\(〇x^{2}+□x+△=0\)この形にして因数分解できるか？
③できなければ仕方ないから、解の公式に入れる
これがベストです。解の公式は二次方程式では万能公式ですが、面倒なので「最終手段」にとっておきましょう。
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