【中３】平方根攻略！平方根の意味から計算方法まで。

平方根の意味
1. 平方根とは？
2. √ の数の性質
平方根のかけ算
1. 計算のしかた
2. かけ算でよくある間違い
平方根の割り算
1. 計算のしかた・有理化
2. なぜ有理化は必要か
平方根の足し算・引き算
1. 計算のしかた・考え方
2. ルートのたし算、引き算でよくある間違い
平方根の計算　ポイントまとめ
平方根（乗法・除法）の問題(解答解説付き)
1. 問題　ポイント　解答・解説動画
2. 解答だけ見たい人はこちらをどうぞ！
平方根（加法・減法）の問題(解答解説付き)
1. 問題　ポイント　解答・解説動画
2. 解答だけ見たい人はこちらをどうぞ！

平方根の意味

平方根とは？

2乗すると、〇〇になる数。これが〇〇の平方根の意味です。…という説明では意味不明ですね。以下をご覧ください。

問題	意味	答え	答え方
9の平方根	2乗すると９になる数	３とー３	±３
16の平方根	2乗すると16になる数	４とー４	±４

表の「答え方」のように「±」って感じで省略して書くのが普通です。

このように、普通の数字で出る分にはいいんですが、出ない場合もあります。

5の平方根（2乗すると5になる数）は？という問題が出てきた時などがそうです。

2乗して5になる数って、普通には考えられないですよね。

その時に登場するのがルートです。

「2乗すると5になる数を√ 5と表しましょう。」

というきまりで作られた数がルートの数なんですね。

ですから、5の平方根は ± √ 5となります。

√ の数の性質

逆に言えば、√5という数は、2乗すると5になるという決まりのもとにできている数と言うこともできます。

√5 ² = 5

このように、ルートの数は、2乗されるとすかさず2乗とルート（√）ははずれます。

√25を考えてみましょう。

√25	２５は５²です。
√25＝√5²	2乗になると√　がはずれますので、
√25＝√5²=5	と、このように計算していきます。

2乗の数が出てきた時に目ざとく見つけて変形することが重要！ということですね。

それでは、√12　のような場合はどうでしょう？１２という数は、何かの2乗の数ではありません。

でも、１２を分解すると

１２＝２×2×３＝２²×３

と、このように2乗の数が現れます。こういう場合も変形していかなければなりません。

√12	12を分解していきます。
√2²×３	２が2乗になったので、２だけ√　がはずれます。
2√３	これで変形終了です。

これが鉄則です。中2までは出て来なかった数なので、なかなかイメージしづらいと思いますが、「ルートは2乗になったらはずれる」。それを頭に入れて計算していきましょう。

イメージ動画を作ったので、参考にご覧ください。

イメージ動画↓

平方根のかけ算

計算のしかた

√ 5 × √2 = √ 10

このようにルートの数はルートの数どうしでかけ算することができます。

4 √ 2 × 5 √ 5= 20 √ 10

整数は整数同士かけ算できますので、この例の場合、整数を整数同士、ルートはルート同士の掛け算になります。

整数の数とルートの中の数は、世界が違う数なので、直接計算することはできません。

そしてこの場合も注意して欲しいのは、2乗になればルートがはずれるということです。

例１：√２ × √18の計算

√２ × √18	√　の中は√　の中同士で計算できるので √2×18 を計算
= √36	このようになりますが、2乗の数に注意！
= √6²	2乗になると√　がはずれます。
= 6	これで計算終了です。

例2　2√3× 3√6の計算

2√3× 3√6	整数は整数どうし、 √　の数は√　の数どうしを計算します。
= 6√18	√　の中を分解して、 2乗になる数があるかどうかを確認します。
＝6√3²×2	2乗の数は√ がはずれます
＝6×３√2	整数は整数どうしでかけ算できます。
=18√2	これで終了です。

2乗になる数に注意して計算しましょう。

かけ算でよくある間違い

よくある間違い①

アイ

√2×√18＝√36と答えを出したらはずれました。なぜですか？

ルート君

36は何かの2乗の数ではないですか？

アイ

６の2乗です。

ルート君

2乗になったら√ をはずしましょう。

アイ

√36＝√6²＝６

でいいですか？

ルート君

それで正解です。

よくある間違い②

マイ

計算したら√35になりました。

分解したら√5×7だったので5√７と答えたらハズレ。なぜ？

ルート君

2乗にならないとルートははずれません。

マイ

√35は数が大きいから小さくしなきゃじゃないの？

ルート君

「大きい数だから」じゃなく、2乗の数だから√ をはずすんですよ。

マイ

じゃあ、√35で答え？

ルート君

それで正解です。

よくある間違い③

ミー

2√6×3√10＝6√60

√60＝√2²×3×5なので答えは2√15としたらハズレました。どうしてでしょう？

ルート君

√60を2√15としたのは正解ですが、6√60の計算でしたよね？

ミー

あ！そうか！…でも、

6と2√15は＋ですか？×ですか？

ルート君

6√60は6×√60の×を省略したものです。

ミー

なるほど！かけ算ですね！

6√60＝6×2√15＝12√15

これで合ってますか？

ルート君

それで正解です。

よくある間違い3つを紹介しました。慣れないとしてしまいがちなので、注意して解きましょう。

また、答えが＋なのか−なのかは、平方根に限らずいつも注意して計算するようにしてください。

平方根の割り算

計算のしかた・有理化

√ 6 ÷ √ 3 = √ 2

このようにルートはルート同士割り算ができます。でも、

√5 ÷ √3

5 ÷ 3はできませんよね。この場合分数で表します。これは整数と変わりません。

^{√5 ÷ √3 =}

しかし、平方根の場合、分母にルートが付くと分母の有理化を行わければなりません

分母の有理化とは、分母にルートの数があるときにそれを整数に直すことです。

分母の有理化（基本手順）

	分母の√3を通分と同じ要領で分母と分子にかけます。
	分母が√3²になるので、ルートがはずれて３になります。
	これで有理化の終了です。