【一次関数】問題文から式を求める方法の解説と教科書にない方法

学校ではこの２つの解き方を学習します。

①傾きか切片かどちらか分かる場合の解き方

②連立方程式を使う解き方

まずはこの２つについて説明します。

最後に私がよく使っている求め方も紹介しますので、チャンネルはそのままで！

ミー

テレビ番組でCMにいくときのやつ！

①傾きか切片かどちらか分かる場合の解き方
②連立方程式を使う解き方
1. 例題４　２点（２,－１)(５,－４)を通る直線の式を求めなさい。
番外編　グラフを描いて解く方法
最後に

①傾きか切片かどちらか分かる場合の解き方

手順

①問題文に「直線」とか「一次関数」が出てきたときには、
「\(y=ax+b\)」を思い浮かべる

②傾きが分かっていれば\(a\)にその数字代入。
切片が分かっていれば\(b\)にその数字を代入します

③座標が１つ分かっているので、\(x\)座標の数を\(x\)に、
\(y\)座標の数を\(y\)に代入してできた方程式を解きます。

④\(y=ax+b\)の\(a\)と\(b\)のところに
それぞれの数を代入して完成です！

実際にやってみましょう！

例題１　傾きが３で、点（－１,４）を通る直線の式を求めなさい。

①「直線」なので\(y=ax+b\)	\(y=ax+b\)
②傾きが３なので、傾き\(a\)に３を代入します。	\(y=3x+b\)
③(－１,４)なので、 \(x\)に－１、\(y\)に４を代入して計算します。	\(4=3\times \left( -1\right) +b\) \(4=-3+b\) \(-3+b=4\) \(b=4+3\) \(b=7\)
傾き\(a=3\)、切片\(b=7\) となったので \(y=ax+b\)に代入して完成です。	\(y=3x+7\)

例題２　切片が－２で、点（－３,１０)を通る直線の式を求めなさい。

①「直線」なので\(y=ax+b\)	\(y=ax+b\)
②切片が－２なので、切片\(b\)に－２を代入します。	\(y=ax-2\)
③（－３,１０)を通る直線なので \(x\)に－３、\(y\)に１０を代入して計算します。	\(10=a\times \left( -3\right) -2\) \(10=-3a-2\) \(-3a-2=10\) \(-3a=10+2\) \(-3a=12\) \(a=-4\)
傾き\(a=-4\)、切片\(b=-2\) となったので \(y=ax+b\)に代入して完成です！	\(y=-4x-2\)

例題３　\(y=2x+3\)に平行で、点（－４,－２）を通る直線の式を求めなさい

「平行」ということは、「傾きが同じ」ということです。もちろん切片は違います。

\(y=2x+3\)に平行な直線を求めるので、傾きが２になることを示しています。

この問題を言い換えると、「傾きが２で、点（－４,－２）を通る直線の式を求めなさい」という問題と同じです。

①「直線」なので\(y=ax+b\)	\(y=ax+b\)
②傾きが２なので、傾き\(a\)に２を代入します。	\(y=2x+b\)
③(－４,－２)を通るので、 \(x\)に－４、\(y\)にー２を代入して計算します。	\(-2=2\times \left( -4\right) +b\) \(-2=-8+b\) \(-8+b=-2\) \(b=-2+8\) \(b=6\)
傾き\(a=2\)、切片\(b=6\) となったので \(y=ax+b\)に代入して完成です。	\(y=2x+6\)

例題４　２点（２,－１)(５,－４)を通る直線の式を求めなさい。

①「直線」なので\(y=ax+b\)	\(y=ax+b\)
②２つの点を\(x\)座標同士、 \(y\)座標同士で比べると、 \(x\)は２⇒５３つ増えています。 \(y\)は(－１)⇒(－４) ３つ減っています。傾き＝\(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\) ＝\(\dfrac{-3}{3}=-1\) よって傾き\(a\)は－１です。 \(a\)に－１を代入します。	\(y=-1x+b\)
③２点（２,－１)(５,－４) どちらかを式に代入しましょう。お好みでOKです。ここでは(２,－１)にしますね。 \(x\)に２、\(y\)に－１を代入して計算します。	\(-1=-1\times 2 +b\) \(-1=-2+b\) \(-2+b=-1\) \(b=-1+2\) \(b=1\)
傾き\(a=-1\)、切片\(b=1\) となったので \(y=ax+b\)に代入して完成です！	\(y=-x+1\)

このように、「傾きか切片のどちらか」＋「１つの点の座標」が分かれば計算で解けます。

ミー

「直線の傾き」から、

世の中から傾いているもの→傾き者（かぶきもの）→歌舞伎となった、

っていう歴史を使ったボケですよね？分かりづらすぎます！

しかもクオリティ低すぎ！「っぽいもの」を集めただけじゃないですか！

マイ

そのボケを理解してしまうミーちゃんがヤバいｗ

しかもツッコミ厳しすぎｗｗ

乃井万之介

しゅん…😢

②連立方程式を使う解き方

連立方程式で一次関数の式を求めるために必要な材料、方法は以下の通りです。

必要な材料	2つの点の座標
方法	\(y=ax+b\)の\(x\)と\(y\)に座標を入れて 2つの式を作り、連立方程式で解く。

一次関数の式を求める計算は、２点の座標さえ分かればこの方法ですべて解けます。

例題４　２点（２,－１)(５,－４)を通る直線の式を求めなさい。

先程のこの問題は、連立方程式でも解けますのでやってみましょう。

\(y=ax+b\)

（２,－１)を代入

\(-1=2a+b\)⇒反対にして⇒\(2a+b=-1\)…①

(５,－４)を代入

\(-4=5a+b\)⇒反対にして⇒\(5a+b=-4\)…②

乃井万之介

反対にした方が計算しやすいでおじゃる。

反対にして式を入れ替えて計算するのがオススメじゃ。

①②を連立方程式で解きます。

よって、\(y=-x+1\)

この方法は、\(x\)と\(y\)を入れて解けばいいので、考え方としては一番楽かもしれません。でも、連立方程式を解くことになるので計算はちょっと大変です。

2つの点が分かる場合はどちらの方法も使えますが、

傾きを計算してから解く方法⇒傾きを考えるのにちょっと工夫するけど計算は楽

連立方程式を使う方法⇒\(y=ax+b\)に代入するだけで考え方は簡単だけど、計算がちょっと大変

どちらも一長一短。あなたはどっちを使いますか？

アイ

一長一短＝長所と短所を合わせ持つこと

本当に長くなったりするわけじゃないからね！

ミー

でもすごい特技ですね～

さて、私がよく使っている方法を「番外編」として紹介します。

以下の解き方ができるとほぼ計算することなく一次関数の式を出すことができます。

ちなみに私はこの方法を使って暗算で式を出しています。

ハマれば劇的に素早く解ける方法なので紹介しますね。